Szélsőértékek meghatározása

Ábrázolni szeretnénk egy képletű harmadfokú függvényt és egy [0,0] origójú félkört, melyek érintik egymást.

Egy kör sugarát nulláról növelve egyszer csak "hozzáér" a függvényhez, a függvény azon pontjához, amely a legközelebb esik az origóhoz.
Ez lesz az érintési pont! Az érintési pont távolsága az origótól pedig a kör sugara.
Tehát keressük meg a harmadfokú függvény origóhoz legközelebb eső pontját!
Írjuk fel a függvény egy általános pontjának távolságát az origótól!
Egy újabb függvényt kaptunk, ahol y a fenti harmadfokú függvényünk. Ennek az új függvénynek a minimumértéke lesz az érintő kör sugara.
Egy folytonos függvény helyi szélsőértéke (minimuma vagy maximuma) olyan pontban lehet, amelyben a differenciálhányados zérus, vagy nem létezik (például végtelenné válik)
Geometriai értelemben a függvény szélsőértéke ott van, ahol a függvény meredeksége (az adott pontban rajzolt érintőjének meredeksége) zérus, illetve azon két pont között, ahol a meredekség előjelet vált.

Feladat megoldása táblázatkezelővel

1.Harmadfokú görbe felrajzolása

1.1 Előkészítés, paraméterek megadása

A görbe paraméterei b (fél szélesség) és h (magasság)
Nevezzük el a C2 cellát b-nek!
Ezentúl így hivatkozunk rá.
Nevezzük el a C3 cellát h-nak!

1.2 Értelmezési tartomány értékeinek (x)számítása

A -b és +b közötti távolságot osszuk fel 20 részre! Az osztáspontok sorszáma -10-től megy +10-ig azaz -10 <= i <= +10. Az adott sorszámú x értékét a b/10*i képlettel kapjuk meg.
  • Hozzunk létre egy számsort -10-től +10-ig az A oszlopban!
  • Nevezzük el az A oszlopot i-nek!
  • A B oszlopot kihagyva** a C oszlopba, a számsor első eleme (-10) mellé írjuk be az =b/10*i képletet! (**A kör felrajzolásánál szükségünk lesz a B oszlopra!)
  • Ellenőrizzük a cellahivatkozásokat az billentyű segítségével!
  • Másoljuk le a képletet minden i mellé!
  • Nevezzük el a C oszlopot x-nek!
=b/10*i

1.3 Értékkészlet (y) számítása

  • A D oszlopba, x első eleme mellé írjuk be a =h/4*(2+(1-ABS(x)*2/b)^3+(1-ABS(x)*2/b)) képletet!
  • Ellenőrizzük a cellahivatkozásokat az billentyű segítségével,
  • majd másoljuk le a képletet minden x mellé!
  • Nevezzük el a D oszlopot y-nak!
=h/4*(2+(1-ABS(x)*2/b)^3+(1-ABS(x)*2/b))

1.4 Görbe felrajzolása

  • Jelöljük ki az x,y értékeinek tartományát!
  • A Diagram varázslóval (Chart Wizard) készítsük el a diagramot!

2. Kör felrajzolása

A harmadfokú görbénél x szerint írtuk fel az y értékeket egyenletes dx mellett.
A kört szerint írjuk fel, azaz értékeit kell előállítani 0-tól radiánig.
A kör paraméteres egyenletrendszere (ha a kör középpontja [0,0])
ahol teljes kör esetén
Az ábrán látható félkör értelmezési tartománya


2.1 Előkészítés, paraméter(ek) megadása

A körnek csak egy paramétere van r (sugár)
Nevezzük el a C31 cellát rr-nek!
(r foglalt, ezért nevezzük a sugarat rr-nek Ezentúl így hivatkozunk rá. Kezdeti értéknek írjunk a cellába 4-et! 		r

2.2 Értelmezési tartomány értékeinek () számítása

A 0 és közötti távolságot osszuk fel 20 részre! Az osztáspontok sorszáma 0-tól megy 20-ig azaz 0 <= i <= 20. Az adott sorszámú értékét a PI()/20*i képlettel kapjuk meg.
  • Hozzunk létre egy számsort 0-tól 20-ig az A oszlopban!
  • Az A oszlopot már elneveztük i-nek, igy ez a lépés most kimarad!
  • A B oszlopba kerülnek értékei, a számsor első eleme (-10) mellé írjuk be az =PI()/20*i képletet!
  • Ellenőrizzük a cellahivatkozásokat az billentyű segítségével!
  • Másoljuk le a képletet minden i mellé!
  • Nevezzük el a B oszlopot beta-nak!

1.3 Értékkészlet (x,y) számítása

Írjuk fel ak ör x és y értékeit függvényében!
  • A C oszlopba, első eleme mellé írjuk be az =rr*COS(beta) képletet!
  • Ellenőrizzük a cellahivatkozásokat az billentyű segítségével,
  • A D oszlopba, első eleme mellé írjuk be az =rr*SIN(beta) képletet!
  • Ellenőrizzük a cellahivatkozásokat az billentyű segítségével,
  • majd másoljuk le x és y képleteit minden mellé!
  • Mivel a C és D oszlopot elneveztük x-nek, y-nak, ez a lépés is kimarad!

1.4 Görbe felrajzolása

  • Jelöljük ki az x,y értékeinek tartományát!
  • A Diagram varázslóval (Chart Wizard) készítsük el a diagramot! Ellenőrizzük grafikusan a függvényt!

3. Érintő kör sugarának meghatározása

Ha egy közös rajzot készítünk a két görbéről r=4 értékkel nincs érintés.

  • Jelöljük ki a harmadfokú görbe x,y értékeinek tartományát!
  • A Diagram varázslóval (Chart Wizard) készítsük el a diagramot! Válasszuk ki az XY(Scatter)típust és azon belül (Chart sub-type) a jobb alsó (Scatter with data points connected by lines without markers)

  • A Series ablakban az gomb megnyomásával adjunk újabb görbét a diagramhoz.
  • Először ADJUK az X értékekek (X Values) tartományát, majd
  • az Y értékek tartományát (Y Values).
  • Nevezzük el a görbéket (Name:)

  • Adjuk meg, hova kerüljön a diagram

  • A görbére kattintva a Format Data Series / Patterns ablakban beállíthatjuk vonalvastagságot és vonalszínt.

  • A tengelyekre kattintva a Format Axis / Scale ablakban állíthatjuk a tengely maximális és minimális értékét valamint az osztásokat.

3.1 A harmadfokú görbe pontjainak távolsága az origótól


3.2 A szélsőérték meghatározása

A távolság függvény kiszámolt értékei közül kiválaszhatjuk a legkisebb értéket a MIN(tartomány) függvénnyel.
Írjuk be az rr cellába a =MIN(E9:E29) képletet.
Pontosabb értéket a Solverrel, vagy egyedi Visual Basic modullal számíthatunk.

3.3 A szélsőérték meghatározása Solverrel

A Solver iterációval határozza meg a szélső értéket, meg kell adni, mely értéket változtassa, illetve mely cella tartalmát figyelje. Ellenőrizzük, hogy a Solver telepítve van-e! Amennyiben installálva van, a Solvert Tools/Solver menüponttal érhetjük el.

Minimumértéket keresünk, ezért aktiváljuk az Equal To: sorában a Min rádiógombot. A Set Target Cell mezőbe írjuk be az rr cellahivatkozást. E cella minimumértékét keressük. A By Changing Cells: mezőbe pedig az xe cellahivatkozást. E cella értékét cserélgeti a SOLVER. Nyomjuk meg a gombot.

A keresett érték pontossága a Solver Options / Beállítások dialógusablakban beállított paraméterektől függ. Most elfogadhatjuk a beállított értékeket.
Ha sikeres a keresés, akkor a Solver Results párbeszédablakban jelzi, hogy a solver talált egy (lehetséges) megoldást, amelynél minden megszorítás és optimálási feltétel teljesült.

Amennyiben a solver nem talál a megszorításoknak és az optimálási feltételeknek teljesülő megoldást, a
Solver could not find a feasible solution. üzenet jelenik meg

Megtarthatjuk a talált értéket (Keep Solver Solution), vagy visszatérhetünk az eredeti értékhez (Restore Original Values).

Válasszuk a Keep Solver Solution opciót!



Irodalom: