a síkbeli feszültségi állapotban lévő tartószerkezetek (az építészmérnöki munkában ilyenek a faltartók, szélmerevítő falak, stb.) vizsgálata kapcsán mutatjuk be. Például az ábrán látható szélmerevítő fal erőjátékát akkor tekinthetjük ismertnek, ha a fal bármely P(x,y) pontjában tudjuk, mennyi az adott terhek hatására ott keletkező, és pontról pontra folyamatosan változó sx , a sy és a txy feszültség. Ezt a feladatot a klasszikus rugalmasságtan keretében egy negyedrendű parciális differenciálegyenlet segítségével írják le. Ennek zárt alakban, vagy a klasszikus sorfejtéses közelítő módszerekkel való megoldása azonban, még az olyan hétköznapi esetben is, mint az ábrán mutatott merevítőfal, gyakorlatilag kizárt. Így mindenképpen csak arról lehet szó, hogy a szóbanforgó feszültségeket leíró függvények helyett a feszültségek közelítő számértékeit néhány jellemző pontban valamely gépi számításra alkalmas numerikus módszerrel (pl. az említett differenciálegyenlet közelítéseként adódó véges differenciák alkalmazásával) meghatározzuk. Kézenfekvő a gondolat, hogy nem lehetne-e valamiféle számítógépes megoldást lehetőséget találni közvetlenül a fizikai modellre alapozva, a matematikai "kerülőút" mellőzésével. Egy ilyen, széles körben alkalmazott, jól bevált lehetőség

a véges elem módszer. Tekintsük az előző ábra jobboldali részét, amely azt mutatja, hogy a vizsgálandó falat kis (háromszögű) részekre osztjuk fel. (A felosztás a teljes falra kiterjed, az ábra csak a bal felső saroktól kiindulva egy darabon tünteti fel a kis területelemeket.) Feltesszük, hogy az egyes elemeken belül a sx , a sy és a txy feszültség (és ezzel együtt az ex , a ey és a gxy fajlagos alakváltozás) állandó, továbbá, hogy az elemek nem folytonosan, hanem csak sarokpontjaikon kapcsolódnak, mégpedig csuklósan. A sarokpontokon az elemek egy-egy függőleges és vizszintes erőt adnak át egymásnak és a kapcsolódó elemek függőleges és vizszintes elmozdulása a sarokpontokban (és csak ott) az alakváltoasok során mindig megegyezik. A feladat megoldása a mozgásmódszer alapján történik: a csomópontok elmozdulásait tekintjük ismeretleneknek és ezen elmozdulásértékeket a csomópontokra vonatkozó egyensúlyi egyenletekből határozzuk meg. E megközelíotésmód nyilván akkor lehet indokolt, ha az elemenként állandónak feltételezett feszültségek elemről-elemre való változása megfelelően nagy (de véges) számú és kis (de nem infinitézimális) méretű elemre való felosztás esetén jól leírja a tényleges szerkezet erőjátékát. Ez mind elméletileg, mind pedig a sokéves széleskörű sikeres gyakorlati alkalmazás alapján igazoltnak tekinthető.

Az említett egyensúlyi egyenletek felállításához ismernünk kell, hogy a csomópontok egységnyi vizszintes vagy függőleges elmozdulása során az egyes véges elemek miként deformálódnak, bennük milyen fajlagos alakváltozások keletkeznek, ezekhez a Hooke törvény alapján milyen feszültségek tartoznak, s a feszültségek eredőjeként végül is milyen csomóponti erők ébrednek. Mindezek a számítások az elemi statikai-szilárdságtani ismereteink alapján elvégezhetők. A végeredmény egy táblázat lesz, amely megmondja, hogy egy véges elem sarokpontjainak elmozdításához milyen csomóponti erők szükségesek. Ez a táblázat

a véges elem merevségi mátrixa. Esetünkben a véges elemek derékszögű háromszögek, amelyek sarokpontjaikkal csatlakoznak a csomópontokhoz. Mivel minden sarokpontban két-két elmozdulás-összetevőt és két-két erő-összetevőt kell figyelembe vennünk, esetünkben az elemi merevségi mátrix 6x6 -os lesz. Vizsgáljuk először az egyik hegyesszögű sarokpont egységnyi elmozdulásait!

Az erők megnevezésénél a hely-ok jelölésmódot követtük, így pl. Y_1,2x az az 1 sarokpontban ébredő függőleges erő, amely a 2 sarokpont (egységnyi) vizszintes elmozdításához tartozik. A statikai egyenértékűség biztosításának egy "kézenfekvő" módja, ha egy-egy oldalon az ott működő feszültségek eredőjének felét működtetjük az oldal egyik és felét a másik végpontjában, pl.:

Az elem teljes merevségi mátrixának felállításához további számítás már nem szükséges. A 3 sarokpont az elemnek ugyanolyan jellegű pontja, mint a 2, csak az az eltérés, hogy az 1 -hez képest nem x, hanem y irányban fekszik. Így az x és y, a X és Y, valamint az a és b követekezetes felcserélésével a 2 sarokpont két oszlopából megkaphatjuk a 3 sarokpont két oszlopát.. Az 1 sarokpont oszlopait pedig abból a megfontolásból nyerjük, hogy ha x₁= x₂= x₃=1 és y₁= y₂= y₃=0 , vagy x₁= x₂= x₃=0 és y₁= y₂=y₃=1, akkor az elem verevtest-szerű elmozdulást végez, nem deformálódik, nem ébrednek benne feszültségek, és így a sarokponti erők is nullára kell, hogy adódjanak. Az elem merecségi mátrixa tehát

a teljes szerkezet globális merevségi mátrixának a kiszámításához. Ha egy csomópont egységnyivel elmozdul vizsztes vagy függőleges irányban, akkor mindazok az elemek, amelyek valamelyik sarokpontjukkal e csomóponthoz csatlakoznak, deformálódnak. E deformációkhoz az elemi merevségi mátrix szerinti sarokponti erők tartoznak, a csomópontra ezen erők összege fog működni. A szerkezet globális merevségi mátrixának felállítása tehát mindössze abból áll, hogy az végeselemekre vonatkozó merevségi mátrixok megfelelő elemeit össze kell adni úgy, ahogyan a csomópontokhoz való csatlakozásuknak megfelelően összetartoznak.

egyensúlyi egyenletrendszerét. Ez n számú csomópont esetén a következőképpen alakul:

Az ai,j ( i=1, 2, ... 2n; j=1, 2, ... 2n ) elemekből álló négyzetes mátrix az egyenülyi egyenletrendszer együttható mátrixa, más szóval a szerkezet globális merevségi mátrixa.. Ax xi és yi ( i=1, 2, ... n ) elemekből álló oszlopvektor tartalmazza az egyenlőre ismeretlen csomóponti elmozdulások vizszintes és függőleges összetevőit, az Xi és Yi ( i=1, 2, ... n ) elemekből álló oszlopvektor pedig a szerkezetre ható terheket, a csomópontokra koncentrált vizszintes és függőleges erők formájában.

Az egyensúlyi egyenletrendszer megoldására kifinomult számítógépes módszerek állnak rendelkezésre. Ezek a merevségi mátrixok speciális szerkezetének kihasználásával biztosítják, hogy a sűrű felosztással járó nagy számú ismeretlen esetén is a tárolókapacitás gazdaságos felhasználása mellett és viszonylag rövid számítási idővel eljuthassunk a csomóp[onti elmozdulások meghatározásáig. A mátrix speciális szerkezete abban áll, hogy egyrészt a főátlóra szimmetrikus, másrészt sok zérus elemet tartalmaz, és ezek bizonyos rendszerben helyezkednek el. Gondoljuk csak meg, hogy ha valamely csomópont elmozdul, akkor csak a hozzá kapcsolódó elemekben ébrednek erők, s ezek az elemek csak néhány további szomszédos csomópontot terhelnek. Az összes többi, az elmozdított csomóponthoz elemmel nem kapcsolódó csomóponthoz tartozó együttható zérus lesz. A nem-zérus elemek a főátló körüli sávban helyezkednek el, a szerkezetek globális merevségi mátrixa mindig szimmetrikus sávmátrix:

feszültségek már számíthatók, hiszen a 3. oldal felső részén a merevségi mátrix számításánál a háromszögelem 2 sarokpontjának egységnyi elmozdulásaihoz tartozó feszültségeket már felírtuk, a 3 és az 1 jelű sarokpontok feszültségei pedig ezekből ugyanúgy adódnak, mint ahogyan a merevségi mátrix esetében is eljártunk. Így végül is a feszültségszámítás egyenletei (mátrixos alakban) a következők:

általánosítási lehetőségeket illetően kell néhány megjegyzést tenni. A bemutatott eset, nevezetesen a síkbeli feladat derékszögű háromszöges felosztása, a véges elem módszer egyik legegyszerűbb és letisztább alkalmazása s éppen ezért talán alkalmas arra, hogy a mödszer alapgondolatáról valami fogalmat alkothassunk magunknak. Ugyanakkor tudnunk kell, hogy ilyen egyszerű eset alig van még egy, pl. már a faltartók téglalap elemes megoldása is vet fel olyan elvi problémákat, amelyek esetünkben megkerülhetők voltak. Tovább bonyolódik a helyzet a gyakorlatilag oly fontos lemezek, héjak esetén. A térbeli szilárdságtani feladatok derékszögű tetraéderes felosztása tűnik ki ismét elvi egyszerűségével, tisztaságával. A véges elem módszer összetett feladatokra való hatékony alkalmazása ma már külön tudomány. Az alkalmazási kör is rendkívül széles: a mi szakmánkban említsük csak a tartószerkezetek statikai és dinamikai feladatait, vagy az épületfizikiai vizsgálatokat (pl. hővezetés, hőhidak). De megtaláljuk a véges elem módszereket a természettudományok és a technika szinte minden területén.